Conjuntos numéricos

O que é

Os conjuntos numéricos organizam os números em famílias, uma dentro da outra: os Naturais (ℕ) = {0, 1, 2, 3, ...}; os Inteiros (ℤ) , que acrescentam os negativos aos naturais; os Racionais (ℚ) , todo número que pode ser escrito como fração a/b (com b ≠ 0), incluindo decimais exatos e dízimas periódicas; e os Reais (ℝ) , que juntam os racionais aos irracionais (dízimas não periódicas, como √2 e π). Vale a relação de inclusão ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Como funciona

Ordem: os números reais podem sempre ser comparados e posicionados numa reta numérica - para qualquer dois números a e b, vale exatamente uma das relações a < b, a = b ou a > b. Operações e propriedades: adição e multiplicação são comutativas (a+b=b+a) e associativas ((a+b)+c=a+(b+c)); a multiplicação é distributiva em relação à adição (a·(b+c)=a·b+a·c); existe elemento neutro (0 na adição, 1 na multiplicação) e, nos racionais e reais, elemento inverso (para todo a≠0, existe 1/a tal que a·1/a=1). Atenção: a subtração e a divisão não têm essas propriedades - não são comutativas nem sempre "fecham" no mesmo conjunto (ex.: 3−5 não é natural; a divisão de dois inteiros nem sempre é inteira).

Exemplos resolvidos

1. Classifique os números −3, 0, 2/5, √2 e 7 quanto ao conjunto numérico a que pertencem. Resolução: −3 é inteiro (ℤ) mas não natural; 0 é natural (e portanto também inteiro, racional e real); 2/5 é racional (ℚ); √2 é irracional (não pode ser escrito como fração - faz parte de ℝ mas não de ℚ); 7 é natural.
2. Ordene em ordem crescente: −3; 0,5; −1/2; 2. Resolução: convertendo tudo para decimal fica −3; −0,5; 0,5; 2. Ordem crescente: −3 < −1/2 < 0,5 < 2.
3. Mostre, com um exemplo numérico, que a subtração não é comutativa. Resolução: 8 − 3 = 5, mas 3 − 8 = −5. Como 5 ≠ −5, fica demonstrado que a ordem importa na subtração.